带电粒子在磁场中的运动
2006/4/13 2:01:36
上海亚皓仪表设备有限公司 供稿
第五节 带电粒子在磁场中的运动
一、 洛伦兹力
洛伦兹力:运动电荷在磁场中所受的力。实验证明，运动带电粒子在磁场中受的力F与粒子的电荷q、它的速度v、磁感应强度B有如下关系：。按照矢径的定义，上式表明，F的大小为: ，θ为v与B之间的夹角；F的方向与v和B构成的平面垂直（如图）。而且F的方向与电荷q的正负也有关系。由于洛伦兹力的方向总与带电粒子速度的方向垂直，洛伦兹力永远不对粒子作功。它只改变粒子运动的方向而不改变它的速率和动能。
二、 洛伦兹力与安培力的关系
安培力是作用在自由电子上洛伦兹力的宏观表现。如图，考虑一段长度为Δl的金属导线，它放置在垂直纸面向内的磁场中。设导线中通有电流I，其方向向上。
从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向下作定向运动形成的。设自由电子的定向运动速度为u，导体单位体积内的自由电子数为（自由电子数密度）n，每个电子所带的电量为-e。所以根据电流的定义: 。由于这里电子的定向速度u与磁感应强度B垂直，所以，每个电子由于定向运动受到的洛伦兹力为f=euB。 虽然这个力作用在金属内的自由电子上，但是自由电子不会越出金属导线，它所获得的冲量最终都会传递给金属的晶格骨架。宏观上看来将是金属导线本身受到这个力。整个长度为Δl的这段导线的体积为SΔl，其中包含自由电子的总数为nSΔl，每个电子受力f=euB，所以这段导线最终受到的总力为F=nSΔleuB=B(enSu) Δl。而I=enSu，所以F=BIΔl。这正好是安培力。
三、带电粒子在均匀磁场中的运动
（1）粒子的初速v垂直于B:由于洛伦兹力永远垂直于粒子的速度，它只改变粒子运动的方向，但不改变其速率v，因此粒子将在平面内作匀速圆周运动。设粒子的质量为m，根据牛顿第二定律，f=ma，有:，所以R=mv/qB。运动周期 ， ，f叫做带电粒子在磁场中的回旋共振频率。回旋共振频率与粒子的速率和回旋半径（又称拉摩半径）无关。
（2）普遍情形:普遍情形下，v与B成任意夹角θ。如图，v∥=vcosθ,v⊥=vsinθ.若只有v⊥分量，粒子将在垂直于B的平面内作匀速圆周运动；若只有v∥分量，磁场对粒子没有作用力，粒子将沿B的方向（或其反方向）作匀速直线运动。当两个分量同时存在时，粒子的轨迹将成为一条螺旋线。其螺距h（粒子每回转一周时前进的距离）为 ，它与v⊥分量无关。
四、何质比的测定:
利用电子（或其它带电粒子）在磁场中偏转的特性，可以测定出它们的电荷与质量之比，即所谓荷质比。
（1）汤姆孙测电子的何质比的方法:
如图，玻璃管内抽成真空，阳极A与阴极K之间维持数千伏特的电压，靠管内残存气体的离子在阴极引起的二次发射产生电子流。阳极A和第二个金属屏A'的中央各有一个小孔，在K、A之间被加速了的电子流，只有很窄一束能够通过这个孔。如果没有玻璃管中部的那些装置，狭窄的电子束依靠惯性前进，直射在玻璃管另一端的荧光屏S的中央，形成一个光点O。 C、D为电容器的两极板，在它们中间可产生一个竖直方向的电场。在圆形区域里，可由管外的电磁铁产生一方向垂直纸面的磁场。适当调节电场与磁场的强度，可使它们作用在电子上的力达到平衡即 eE=evB,或v=E/B。 由E和B的数值可以测出电子流的速度v。再将电场切断，电子束在磁场区内将沿圆弧运动，R=mv/qB，因而电子的何质比为 ，半径R可以直接从仪器上来确定。
（2）磁聚焦法:
如图，用磁聚焦法测荷质比装置的一种。真空玻璃管中装有热阴极K和有小孔的阳极A，在A、K之间加电压ΔU时，由阳极小孔射出的电子的动能为 ，从而其速率为 。在电容器C上加一不大的横向交变电场，使不同时刻通过
这里的电子发生不同程度的偏转。在电容器C和荧光屏S之间加一均匀纵向磁场，如上所述，电子从C出来后将沿螺旋线运动，到 的地方聚焦。适当的调节B的大小，可使电子流的焦点刚好落在荧光屏S上。这时，h就等于C到S间的距离l，于是从上述h与v的表达式中消去v即得 ，上式右端各量都可以测出，由此即可确定e/m。
五、回旋加速器的基本原理:
回旋加速器是原子核物理学中获得高速粒子的一种装置。这种装置结构虽然很复杂，但其基本原理就是利用上面提到的那个回旋共振频率与速率无关的性质。
如图，回旋加速器的核心部分为D形盒，它的形状有如扁圆的金属盒沿直径剖开的两半，每半个都象字母"D"的形状。两D形盒之间留有窄缝，中心附近放置离子源（如质子、氘核或α粒子源等）。在两D形盒间接上交流电源（其频率的数量级为106周/秒），于是在缝隙里形成一个交变电场。由于电屏蔽效应，在每个D形盒的内部电场很弱。D形盒装在一个大的真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，这磁场的方向垂直于D形盒的底面。离子的运动情况如图:
设想正当D2的电位高的时候，一个带正电的离子从离子源出发，它在缝隙中被加速，以速率v1进入D1内部的无电场区。在这里离子在磁场的作用下绕过回旋半径为R1=mv1/qB的半个圆周而回到缝隙。如果在此期间缝隙间的电场恰好反向，粒子通过缝隙时又被加速，以较大的速率v2进入D2内部的无电场区，在其中绕过回旋半径为R2=mv2/qB的半个圆周后再次回到缝隙。虽然半径不同，但是周期是一样的。所以只要缝隙中交变电场以不变的回旋共振周期往复变化，便可保证离子每次经过缝隙时受到的电场力都是使它加速的。这样，不断被加速的离子将沿着螺线轨道逐渐趋于D形盒的边缘，达到预期的速率后，用特殊的装置将它们引出。
六、霍尔效应
霍耳效应:通有电流I的金属或半导体板置于磁感强度为B的均匀磁场中，磁场的方向和电流方向垂直。在金属板的两侧M和N之间就显示出微弱的横向电势差。这种现象称为霍耳效应(Hall effect)。电势差VM－VN 就称为霍耳电势差。
实验表明：霍耳电势差的大小，与电流I及磁感强度的大小B成正比，而与板的厚度d成反比。即:其中RH称为霍耳系数。
霍耳效应可用磁场中的载流子受到的洛仑兹力来说明:设载流子带电量为q，载流子的数密度为n，载流子的平均漂移速度为v，它们在洛仑兹力qvB作用下向板的一侧聚集，使得在M、N两侧出现等量异号电荷，在板内建立起不断增加的横向电场。当载流子受到的洛仑兹力和横向电场力相等时，载流子不再做侧向运动，在平衡时有:设板的侧向宽度为b，则:. 由电流强度I的定义，得:，得霍耳电势差: . 因此，霍耳系数RH : , 霍耳系数RH与材料性质有关。
因为半导体的载流子浓度远小于金属电子的浓度且易受温度、杂质的影响，所以霍耳系数是研究半导体的重要方法之一。利用半导体的霍耳效应制成的器件成为霍耳元件。利用霍耳效应还可以测量载流子的类型和数密度，可以测量磁场。
量子霍耳效应: 1980年德国物理学家克立钦(K. Von Klitzing)在低温(1.5K)和强磁场(19T)条件下，发现:式中的霍耳电势差与电流的关系，不再是线性的，而是台阶式的非线性关系，这就是量子霍耳效应。量子霍耳效应与低维系统的性质、高温超导体的性质存在联系。另外，量子霍耳效应给电阻提供了一个新的测量基准，其精度可达10－10。1986年克立钦因量子霍耳效应的发现获诺贝尔奖金。
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一、 洛伦兹力
洛伦兹力:运动电荷在磁场中所受的力。实验证明，运动带电粒子在磁场中受的力F与粒子的电荷q、它的速度v、磁感应强度B有如下关系：。按照矢径的定义，上式表明，F的大小为: ，θ为v与B之间的夹角；F的方向与v和B构成的平面垂直（如图）。而且F的方向与电荷q的正负也有关系。由于洛伦兹力的方向总与带电粒子速度的方向垂直，洛伦兹力永远不对粒子作功。它只改变粒子运动的方向而不改变它的速率和动能。
二、 洛伦兹力与安培力的关系
安培力是作用在自由电子上洛伦兹力的宏观表现。如图，考虑一段长度为Δl的金属导线，它放置在垂直纸面向内的磁场中。设导线中通有电流I，其方向向上。
从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向下作定向运动形成的。设自由电子的定向运动速度为u，导体单位体积内的自由电子数为（自由电子数密度）n，每个电子所带的电量为-e。所以根据电流的定义: 。由于这里电子的定向速度u与磁感应强度B垂直，所以，每个电子由于定向运动受到的洛伦兹力为f=euB。 虽然这个力作用在金属内的自由电子上，但是自由电子不会越出金属导线，它所获得的冲量最终都会传递给金属的晶格骨架。宏观上看来将是金属导线本身受到这个力。整个长度为Δl的这段导线的体积为SΔl，其中包含自由电子的总数为nSΔl，每个电子受力f=euB，所以这段导线最终受到的总力为F=nSΔleuB=B(enSu) Δl。而I=enSu，所以F=BIΔl。这正好是安培力。
三、带电粒子在均匀磁场中的运动
（1）粒子的初速v垂直于B:由于洛伦兹力永远垂直于粒子的速度，它只改变粒子运动的方向，但不改变其速率v，因此粒子将在平面内作匀速圆周运动。设粒子的质量为m，根据牛顿第二定律，f=ma，有:，所以R=mv/qB。运动周期 ， ，f叫做带电粒子在磁场中的回旋共振频率。回旋共振频率与粒子的速率和回旋半径（又称拉摩半径）无关。
（2）普遍情形:普遍情形下，v与B成任意夹角θ。如图，v∥=vcosθ,v⊥=vsinθ.若只有v⊥分量，粒子将在垂直于B的平面内作匀速圆周运动；若只有v∥分量，磁场对粒子没有作用力，粒子将沿B的方向（或其反方向）作匀速直线运动。当两个分量同时存在时，粒子的轨迹将成为一条螺旋线。其螺距h（粒子每回转一周时前进的距离）为 ，它与v⊥分量无关。
四、何质比的测定:
利用电子（或其它带电粒子）在磁场中偏转的特性，可以测定出它们的电荷与质量之比，即所谓荷质比。
（1）汤姆孙测电子的何质比的方法:
如图，玻璃管内抽成真空，阳极A与阴极K之间维持数千伏特的电压，靠管内残存气体的离子在阴极引起的二次发射产生电子流。阳极A和第二个金属屏A'的中央各有一个小孔，在K、A之间被加速了的电子流，只有很窄一束能够通过这个孔。如果没有玻璃管中部的那些装置，狭窄的电子束依靠惯性前进，直射在玻璃管另一端的荧光屏S的中央，形成一个光点O。 C、D为电容器的两极板，在它们中间可产生一个竖直方向的电场。在圆形区域里，可由管外的电磁铁产生一方向垂直纸面的磁场。适当调节电场与磁场的强度，可使它们作用在电子上的力达到平衡即 eE=evB,或v=E/B。 由E和B的数值可以测出电子流的速度v。再将电场切断，电子束在磁场区内将沿圆弧运动，R=mv/qB，因而电子的何质比为 ，半径R可以直接从仪器上来确定。
（2）磁聚焦法:
如图，用磁聚焦法测荷质比装置的一种。真空玻璃管中装有热阴极K和有小孔的阳极A，在A、K之间加电压ΔU时，由阳极小孔射出的电子的动能为 ，从而其速率为 。在电容器C上加一不大的横向交变电场，使不同时刻通过
这里的电子发生不同程度的偏转。在电容器C和荧光屏S之间加一均匀纵向磁场，如上所述，电子从C出来后将沿螺旋线运动，到 的地方聚焦。适当的调节B的大小，可使电子流的焦点刚好落在荧光屏S上。这时，h就等于C到S间的距离l，于是从上述h与v的表达式中消去v即得 ，上式右端各量都可以测出，由此即可确定e/m。
五、回旋加速器的基本原理:
回旋加速器是原子核物理学中获得高速粒子的一种装置。这种装置结构虽然很复杂，但其基本原理就是利用上面提到的那个回旋共振频率与速率无关的性质。
如图，回旋加速器的核心部分为D形盒，它的形状有如扁圆的金属盒沿直径剖开的两半，每半个都象字母"D"的形状。两D形盒之间留有窄缝，中心附近放置离子源（如质子、氘核或α粒子源等）。在两D形盒间接上交流电源（其频率的数量级为106周/秒），于是在缝隙里形成一个交变电场。由于电屏蔽效应，在每个D形盒的内部电场很弱。D形盒装在一个大的真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，这磁场的方向垂直于D形盒的底面。离子的运动情况如图:
设想正当D2的电位高的时候，一个带正电的离子从离子源出发，它在缝隙中被加速，以速率v1进入D1内部的无电场区。在这里离子在磁场的作用下绕过回旋半径为R1=mv1/qB的半个圆周而回到缝隙。如果在此期间缝隙间的电场恰好反向，粒子通过缝隙时又被加速，以较大的速率v2进入D2内部的无电场区，在其中绕过回旋半径为R2=mv2/qB的半个圆周后再次回到缝隙。虽然半径不同，但是周期是一样的。所以只要缝隙中交变电场以不变的回旋共振周期往复变化，便可保证离子每次经过缝隙时受到的电场力都是使它加速的。这样，不断被加速的离子将沿着螺线轨道逐渐趋于D形盒的边缘，达到预期的速率后，用特殊的装置将它们引出。
六、霍尔效应
霍耳效应:通有电流I的金属或半导体板置于磁感强度为B的均匀磁场中，磁场的方向和电流方向垂直。在金属板的两侧M和N之间就显示出微弱的横向电势差。这种现象称为霍耳效应(Hall effect)。电势差VM－VN 就称为霍耳电势差。
实验表明：霍耳电势差的大小，与电流I及磁感强度的大小B成正比，而与板的厚度d成反比。即:其中RH称为霍耳系数。
霍耳效应可用磁场中的载流子受到的洛仑兹力来说明:设载流子带电量为q，载流子的数密度为n，载流子的平均漂移速度为v，它们在洛仑兹力qvB作用下向板的一侧聚集，使得在M、N两侧出现等量异号电荷，在板内建立起不断增加的横向电场。当载流子受到的洛仑兹力和横向电场力相等时，载流子不再做侧向运动，在平衡时有:设板的侧向宽度为b，则:. 由电流强度I的定义，得:，得霍耳电势差: . 因此，霍耳系数RH : , 霍耳系数RH与材料性质有关。
因为半导体的载流子浓度远小于金属电子的浓度且易受温度、杂质的影响，所以霍耳系数是研究半导体的重要方法之一。利用半导体的霍耳效应制成的器件成为霍耳元件。利用霍耳效应还可以测量载流子的类型和数密度，可以测量磁场。
量子霍耳效应: 1980年德国物理学家克立钦(K. Von Klitzing)在低温(1.5K)和强磁场(19T)条件下，发现:式中的霍耳电势差与电流的关系，不再是线性的，而是台阶式的非线性关系，这就是量子霍耳效应。量子霍耳效应与低维系统的性质、高温超导体的性质存在联系。另外，量子霍耳效应给电阻提供了一个新的测量基准，其精度可达10－10。1986年克立钦因量子霍耳效应的发现获诺贝尔奖金。
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